KALKULUS
BUKAN SEKEDAR KALKULASI
Hendra Gunawan
Kampus UNJ, 21 November 2015
MENGAPA KALKULUS? APA YANG DIGARAP?
(c) Hendra Gunawan (2015) 2
Isaac Newton (1643-1727)
& Kecepatan Sesaat
Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus sehingga posisinya pada saat t adalah x = x(t).
Kecepatan rata-rata-nya dari t = a s/d t = b adalah
v[a,b] = [x(b) – x(a)]/(b – a). Kecepatan sesaat pada t = a adalah
v(a) = lim x(b) − x(a) . b→a b−a
(c) Hendra Gunawan (2015) 3
James Gregory (1638-1675) Isaac Barrow (1630-1677)
y
Q
Gradien garis yg melalui titik P(a,f(a)) dan Q(b,f(b)) adalah m = [f(b) – f(a)] ÷ (b – a). Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di P(a,f(a)) adalah
x
Gottfried Leibniz (1646-1716) & Gradien Garis Singgung
Misal kita mempunyai fungsi y = f(x) yang grafiknya cukup mulus di sekitar x = a, sehingga mempunyai garis singgung di titik P(a,f(a)).
P
ma =limf(b)−f(a). b→a b−a
ab
(c) Hendra Gunawan (2015) 4
Turunan & Teorema Nilai Rata-Rata
Turunan dari fungsi f di titik x = a didefinisikan sebagai
Teorema Nilai Rata-Rata: Jika f kontinu pada interval [a,b] dan mempunyai turunan di setiap titik di dalam (a,b), maka
untuk suatu c ε (a,b).
(c) Hendra Gunawan (2015) 5
f'(a)=lim f(x)− f(a). x→a x−a
f (b)− f (a) = f '(c) b−a
Definisi Limit Fungsi di Suatu Titik lim f (x) = L jika dan hanya jika
x→c
"untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:
jika 0 < | x – c | < δ, maka | f(x) – L | < ε." OMG, ini bukan suatu kalimat yang mudah!
Sejak kapan manusia berurusan dengan dunia infinitesimal?
(c) Hendra Gunawan (2015) 6
A-L. Cauchy (1789-1857)
K. Weierstrass (1815-1897)
Antiphon & Lingkaran
• Antiphon (425 SM) membuktikan bahwa luas segi-2n beraturan "di dalam lingkaran" lebih besar dari (1 – 21-n) kali luas lingkaran.
• Karena luas segi-2n beraturan sebanding dengan kuadrat "diameter"-nya, Antiphon lalu menyimpulkan bhw luas lingkaran juga mesti sebanding dgn kuadrat
perseus.mpiwg- berlin.mpg.de
diameternya: L = k(2r)2 = 4kr2.
(c) Hendra Gunawan (2015) 7
Eudoxus & Lingkaran
• Fakta bahwa luas lingkaran sebanding dengan kuadrat diameternya dibuktikan* secara rigorous oleh Eudoxus (~375 SM).
people.famouswhy.com
*Dalam pembuktiannya, Eudoxus juga menggunakan fakta bahwa luas segi-2n beraturan "yang memuat lingkaran" lebih kecil dari (1 + 22-n) kali
(c) Hendra Gunawan (2015) 8
luas lingkaran tersebut, selain fakta yang telah dibuktikan o/ Antiphon.
Archimedes & Lingkaran
Archimedes membuktikan bahwa luas lingkaran sama dengan 1⁄2 × keliling × jari-jari.
(c) Hendra Gunawan (2015) 9
en.wikipedia.org
Archimedes & Lingkaran
Buktinya sbb: Andaikan luas lingkaran = L > T = 1⁄2 × keliling × jari-jari. Pilih bil n sedemikian shg T< luas segi-2n < L. Misal AB sisi segi-2n. Pada segitiga OAB, ruas garis ON tegak lurus thd AB. Di sini, |ON| < jari-jari. Jadi,
Luas segi-2n = 2n × (1⁄2|AB| × |ON|) = 1⁄2 × (2n|AB| × |ON|)
ANB
Kontradiksi. Dgn cara yg sama, mustahil L < T.
Jadi mestilah L = T.
< 1⁄2 × keliling × jari-jari = T.
(c) Hendra Gunawan (2015) 10
O
Archimedes & Lingkaran
-
Berdasarkan temuan sebelumnya, jika K = keliling lingkaran berdiameter 1, maka luas- nya sama dengan K/4.
-
Sekarang misalkan L = luas lingkaran berjari- jari r. Maka, berdasarkan temuan Antiphon
dan Eudoxus:
L =(2r)2. 2
K/4 1
• Akibatnya, L = Kr2. Lalu, dgn menggunakan
segi-96, Archimedes memperoleh K ≈ 22/7.
(c) Hendra Gunawan (2015) 11
BAGAIMANA DENGAN BANGUN DATAR LAINNYA?
(c) Hendra Gunawan (2015) 12
Sistem Koordinat Cartesius
II Q(c,d) y b
1 O
1
I
P(a,b)
ax
IV
Rene Descartes
(1596-1650, Filsuf & Matematikawan Perancis, terkenal dengan karyanya "La geometrie" (1637) dan ucapan "Cogito ergo sum."
III
(c) Hendra Gunawan (2015)
13
Luas Daerah di Bawah Kurva
Misalkan kita ingin menghitung luas daerah di bawah kurva y = f(x)=x2, 0≤x≤1.Pertama, bagi selang [0,1] atas n selang bagian yang sama panjangnya. Lalu, luas daerah tersebut (L) kita hampiri dgn jumlah luas n persegi-panjang di bawah kurva, yakni
0 1/n 2/n 1 222
L≈102 +1 +2 +...+(n−1) . n n2 n2 n2
(c) Hendra Gunawan (2015)
14
Perhatikan bahwa deret di ruas kanan dapat kita tulis-
ulang sebagai
1 yang jumlahnya n3
6n3 Jadi, kita kita peroleh hampiran
L ≈ (n −1)n(2n −1) := Ln . 6n3
Dari sini kita peroleh Ln ≈ 1/3 bila n cukup besar. Jadi,
kita dapat menduga bahwa luas daerah yang sedang
kita cari adalah 1/3. [Benarkah luasnya = 1/3 ??]
(c) Hendra Gunawan (2015) 15
222 [1 +2 +...+(n−1) ]
(n−1)n(2n−1).
Jumlah Riemann
Misalkan f : [a,b] → R kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik. Bagi selang [a,b] atas n selang bagian (tak perlu sama panjang), dengan titik-titik pembagi
a=x0 <x1 <x2 <...<xn-1 <xn =b.
Himpunan titik-titik ini disebut sebagai partisi dari [a,b]. Untuk i=1,...,n,tulis∆xi =xi –xi-1
(= lebar selang bagian ke-i).
y=f(x)
ab
(c) Hendra Gunawan (2015)
16
a x1
xn-1 b
en.wikipedia.org
Jumlah Riemann
Pada setiap selang bagian, pilih titik sampel ti є [xi-1, xi], sembarang. Lalu bentuk penjumlahan
berikut
dengan indeks i berjalan dari 1 hingga n.
Bentuk ini dikenal sebagai jumlah Riemann utk f terhadap partisi P = {a=x0, x1, ..., xn-1, xn=b} dan titik-titik sampel ti.
RP :=
∑ i=1
f (t ).∆x ii
n
(c) Hendra Gunawan (2015) 17
Integral Riemann
Jumlah Riemann untuk f merupakan hampiran untuk luas daerah di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Semakin 'halus' partisinya, semakin baik hampiran tersebut. Jika
n
lim ∑ f (t ).∆x
|P|→0 i=1
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b] dan
integral tentu f pada [a,b] didefinisikan sebagai
b
∫ f (x)dx = lim ∑ f (t ).∆x
dan n∞, maka |P|0.
(c) Hendra Gunawan (2015) 18
|P|→0 i=1
Catatan. |P| = maks {∆xi : i = 1, ..., n}. Jika ∆xi =(b-a)/n
a
ii
n
ii
Fungsi Akumulasi Misalkan f terintegralkan pada
[a, b]. Definisikan x
F(x) = ∫ f (t)dt. a
axb
b Perhatikan bahwa F(a) = 0 dan F(b) = ∫ f (t)dt.
a
Di sini, F(x) menyatakan "luas daerah" di bawah kurva y = f(t), a ≤ t ≤ x (lihat gambar).
Fungsi F disebut fungsi akumulasi dari f.
(c) Hendra Gunawan (2015) 19
Teorema Dasar Kalkulus I F'(x) = f(x) pada [a, b]; yakni,
dx
dx∫f(t)dt= f(x),∀x∈[a,b].
a Catatan:
-
TDKImenyatakanbahwafungsiakumulasi merupakan anti-turunan dari f.
-
TDKImemberitahukitabahwaturunandan
integral merupakan semacam kebalikan satu
terhadap yang lainnya.
(c) Hendra Gunawan (2015) 20
Bukti Teorema Dasar Kalkulus I Menurut definisi turunan,
F'(x) = lim F(x + h) − F(x)
h→0 h 1 x+h
x =lim h ∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt
h→0a a 1 x+h
=limh ∫f(t)dt. h→0 x
Ketika h kecil, f tak berubah banyak pada [x, x+h].
Pada selang ini, f(t) ≈ f(x), sehingga integral-nya
kira-kira sama dengan h.f(x). Jadi F'(x) = f(x).
(c) Hendra Gunawan (2015) 21
Teorema Dasar Kalkulus II
Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada [a, b], maka
b
∫ f (x)dx = F(b) − F(a).
a
1. SepertihalnyaTDKI,TDKIImengaitkan integral tentu dengan anti-turunannya.
2. TDKIImerupakanakibatdariTDKI,tetapi
dapat dibuktikan pula dgn menggunakan
Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan.
Catatan:
(c) Hendra Gunawan (2015) 22
Bukti Teorema Dasar Kalkulus II
Misalkan f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada [a, b]. Maka, f terintegralkan pada [a, b], dan untuksetiappartisia=x0 <x1 <x2 <...<xn-1 <xn = b kita mempunyai n
b
Karena itu ∫ a
i=1 n
F(b)−F(a)=∑[F(x)−F(x )]
i i−1 i=1
n
= ∑ f (t )∆x ,
Teorema Nilai Rata-Rata Turunan
i i f(x)dx=lim∑f(t).∆x =F(b)−F(a).
ii
|P|→0 i=1
(c) Hendra Gunawan (2015) 23
Teorema Nilai Rata-Rata Integral
Jika f kontinu pada [a, b], maka ter- dapat c є [a,b] sedemikian sehingga
1b
f (c) = b − a ∫ f (t)dt.
a
Catatan. Nilai f(c) dalam teorema ini disebut nilai rata-rata integral f pada [a, b] (lihat gambar). Per- hatikan bahwa luas daerah di ba- wah kurva y = f(t), t є [a, b], sama dengan f(c)(b – a).
y = f(t)
acb
(c) Hendra Gunawan (2015)
24
Nilai Rata-Rata Turunan & Nilai Rata-Rata Integral
Jika F' = f kontinu pada [a,b], maka F(b)−F(a) 1 b
b − a = b − a ∫ f (t)dt. a
Keduanya sama dengan nilai f(c) untuk suatu c di antara a dan b.
(c) Hendra Gunawan (2015) 25
Kalkulus bukan sekedar kalkulasi, tetapi merupakan sebuah kerangka berpikir yang merajut dua konsep mendasar, yaitu turunan dan integral, dengan merangkul konsep infinitesimal ("the ghosts of departed quantities").
TERIMA KASIH.
(c) Hendra Gunawan (2015) 26
Comments
Post a Comment